Zusammenfassung zur Differentialrechnung

Zusammenfassung zur Differentialrechnung (Grundlagen)

Gegeben:
Zwei Punkte einer beliebigen Funktion f mit P₁(x₀|f(x₀) und P₂(x₀ + Δx | f(x₀ + Δx))

Differenzenquotient:
Anstieg der Sekante durch die beiden Punkte von f

\( a_1 = \frac{ f(\textcolor{#33F}{x_0} + \Delta x) - f(\textcolor{#33F}{x_0}) }{ (\textcolor{#33F}{x_0} + \Delta x) - \textcolor{#33F}{x_0} } = \frac{ f(\textcolor{#33F}{x_0} + \Delta x) - f(\textcolor{#33F}{x_0}) }{ \Delta x } \)

Differentialquotient:
Anstieg der Tangente an f in P₁

\( \lim\limits_{x \to 0} \frac{ f(\textcolor{#33F}{x_0} + \Delta x) - f(\textcolor{#33F}{x_0}) }{ \Delta x } = f'(\textcolor{#33F}{x_0}) \)

Ableitungsfunktion:
Funktion f', die jedem Element x_i des Definitionsbereichs den Anstieg von f in P(x_i | f(x_i) ) zuordnet.

Anwendung der Differentialrechnung (Kurvendiskussion)

Extrema (lokale bzw. relative)

Definition

Ein Punkt E(x_E | f(x_E)) einer Funktion f heißt:

- Hochpunkt (lokales, relatives Maximum), wenn die Funktionswerte f(x_i) kleiner sind als f(x_E). Die Elemente x_i entstammen aus der Umgebung von x_E.

- Tiefpunkt (lokales, relatives Minimum), wenn die Funktionswerte f(x_i) größer sind als f(x_E). Die Elemente x_i entstammen aus der Umgebung von x_E.

In einem lokalen Extremum ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten.

Bedingungen

Ein lokales, relatives Extremum liegt vor, wenn f‘(x_E) = 0 und f‘‘(x_E) ≠ 0

Ist f‘‘(x_E) < 0, liegt ein Hochpunkt vor.

Ist f‘‘(x_E) > 0, liegt ein Tiefpunkt vor.

Verfahren zur Bestimmung lokaler Extrema

1. Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnen.
2. Berechnete Nullstellen in die zweite Ableitungsfimktion einsetzen und prüfen, ob ein lokales Extremum vorliegt bzw. die Art des Extremums feststellen. (Beachte: gegebenenfalls den Monotoniewechsel untersuchen)
3. Funktionswert des Extrempunktes berechnen und die Koordinaten des Punktes angeben.

Monotonie

Definition

Eine Funktion f heißt in einem Intervall I:
- monoton steigend, wenn für x₁ < x₂ gilt f(x₁) ≤ f(x₂),
- monoton fallend, wenn für x₁ < x₂ gilt f(x₁) ≥ f(x₂).

Bedingungen

Eine Funktion ist in einem Intervall I:
- monoton steigend, wenn f‘(x) > 0,
- monoton fallend, wenn f‘(x) < 0.

Verfahren zur Bestimmung der Art der Monotonie

1. Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion berechnen.
2. Definitionsbereich gegebenenfalls in Monotonieintervalle unterteilen.
3. Aus jedem Monotonieintervall ein beliebiges Element auswählen und es in die erste Ableitungsfunktion einsetzen.
4. Art der Monotonie entscheiden.

Krümmung

Definition

Die Krümmung einer Funktion ist die Monotonie der ersten Ableitungsfunktion von f.

Bedingungen

Eine Funktion f heißt in einem Intervall I:

- rechtsgekrümmt, wenn f‘‘(x) < 0
- linksgekrümmt, wenn f‘‘(x) > 0.

Verfahren zur Bestimmung der Krümmungsart

1. Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion berechnen.
2. Definitionsbereich gegebenenfalls in Krümmungsintervalle unterteilen.
3. Aus jedem Krümmungsintervall ein beliebiges Element auswählen und es in die zweite Ableitungsfunktion einsetzen.
4. Art der Krümmung entscheiden.

Wendepunkt

Definition

Ein Punkt W(x_W | f(x_W) heißt Wendepunkt der Funktion f, wenn sich an der Stelle x_W das Krümmungsverhalten der Funktion ändert.

An der Stelle x_W hat die erste Ableitungsfunktion ein Extremum.

Ein Wendepunkt heißt Sattelpunkt bzw. Terrassenpunkt, wenn der Anstieg der Funktion f in diesem Punkt 0 ist.

Bedingungen

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn f‘‘(x_W) = 0 und f‘‘‘(x_W) ≠ 0

Verfahren zur Bestimmung des Wendepunktes

1. Nullstellen der zweiten Ableitungsfunktion berechnen.
2. Berechnete Nullstellen in die dritte Ableitung einsetzen und prüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt.
3. Funktionswert des Wendepunktes berechnen und die Koordinaten des Wendepunktes angeben.