Das allgemeine Vorgehen zum Lösen von Extremwertaufgaben wird nachstehend in 7 Schritten vorgeführt. Anschließend benutzen wir diese Anleitung, um eine Beispielaufgabe zu lösen:
Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben
- 1. Was soll optimal (also maximal oder minimal) werden und wie lautet die Formel dafür? – „Hauptbedingung“
- 2. Was ist gegeben und wie lautet die Formel dafür? (Einsetzen der gegebenen Größen). – „Erste Nebenbedingung“
- 3. Anlegen einer Skizze mit Beschriftung der gegebenen und gesuchten Stücke. Berechnen mindestens eines Spezialfalles
- 4. Gibt es weitere Formeln, in denen die bisher genannten Variablen und Konstanten vorkommen? – „Zweite Nebenbedingung“
- 5. Bilden die unter 1., 2. und 4. genannten Bedingungen ein Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen hat?
- 6. Gleichungssystem so weit reduzieren, dass außer der zu optimierenden Variable nur eine weitere Variable enthalten ist.
- 7. Die Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsgleichung auffassen und Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Zusatzüberlegungen zur Art jedes Extremums anstellen.
Beispiel-Lösung einer Extremwertaufgabe
Welches gleichschenklige Dreieck mit dem Umfang 30 cm hat den größten Flächeninhalt?
- 1. Was soll optimal (also maximal oder minimal) werden und wie lautet die Formel dafür? – „Hauptbedingung“
- Die Dreiecksfläche soll maximal werden. Die Formel dafür lautet \( F = g·\frac{h}{2} \).
- 2. Was ist gegeben und wie lautet die Formel dafür? (Einsetzen der gegebenen Größen). – „Erste Nebenbedingung“
- U = 2a + g. U = 30 ist gegeben. Daraus folgt: 30 = 2a + g
- 3. Anlegen einer Skizze mit Beschriftung der gegebenen und gesuchten Stücke. Berechnen mindestens eines Spezialfalles
- Die Skizze muss mit g als Grundseite, a als Schenkellänge und h als Höhe auf der Grundseite beschriftet werden. Spezialfall a = 8. Dann bleibt g = 30-16 = 14. Wegen der Flächenformel (siehe 1.) muss nun h berechnet werden. Hier deutet sich schon an, was unter 4. festgehalten wird: \( \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \). Jetzt ist \( h = \sqrt{64 - 49} = \sqrt{15} \) und \( F = 7 \sqrt{15} ≈ 27,11 \)
- 4. Gibt es weitere Formeln, in denen die bisher genannten Variablen und Konstanten vorkommen? – „Zweite Nebenbedingung“
- \( \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \)
- 5. Bilden die unter 1., 2. und 4. genannten Bedingungen ein Gleichungssystem, das eine Variable mehr als Gleichungen hat?
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Aufstellen der obigen Gleichungen:
\( \begin{array}{ll} (1) & F = g · \frac{h}{2} \\ (2) & 30 = 2a + g \\ (3) & \left( \frac{g}{2} \right)^2 + h^2 = a^2 \end{array} \)
Drei Gleichungen mit den vier Variablen F, a, h, g lassen sich auf eine Gleichung mit den zwei Variablen F und eine aus a, h, g reduzieren.
- 6. Gleichungssystem so weit reduzieren, dass außer der zu optimierenden Variable nur eine weitere Variable enthalten ist.
- Geschicktes Auflösen und Einsetzen führt schließlich zu: \( F(a) = (15-a) · \sqrt{30·a - 225} \)
- 7. Die Gleichung mit zwei Variablen als Funktionsgleichung auffassen und Nullstelle der ersten Ableitung bestimmen. Zusatzüberlegungen zur Art jedes Extremums anstellen.
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Nach der Produktregel ableiten und auf den Hauptnenner bringen: \( F‘(a) = \frac{-45a + 450}{\sqrt{30a - 225}} \).
Diese Ableitung hat nur die Nullstelle a = 10. Dies muss das gesuchte Maximum sein.