Mit Hilfe von Brüchen können Anteile an Größen berechnet werden. Das einfachste Beispiel ist „Berechne die Hälfte von …“. Hierzu kann man durch 2 dividieren oder aber mit \( \frac{1}{2} \) multiplizieren. Doch weshalb klappt das?
Nehmen wir eine Beispielaufgabe:
„Berechne die Hälfte von 500 m.“
Wir könnten jetzt einfach dividieren: 500 m : 2 = 250 m
Doch statt der Division können wir auch eine Multiplikation mit einem Bruch durchführen, und zwar wie folgt:
\( 500 \text{ m} : \textcolor{#F00}{2} = 500 \text{ m} : \frac{2}{1} = 500 \text{ m} \textcolor{#F00}{·\frac{1}{2}} \)
Dass diese Umformung erlaubt ist, hatten wir bei der Division von Brüchen gelernt.
Wir sehen hier, dass \( \textcolor{#F00}{:2} \) ersetzt werden kann mit \( \textcolor{#F00}{ ·\frac{1}{2} } \).
Berechnen wir im Folgenden ein paar Beispiele, bei denen wir Anteile mit Bruchangaben bilden.
Beispiel: (1/8) von 1000 kg
Gefragt ist nach 1 von 8 gleichgroßen „Teilen“ vom Ganzen. Unser „Ganzes“ sind die 1000 kg.
Ohne die Bruchrechnung könnten wir direkt die Division rechnen: 1000 kg : 8 = 125 kg.
Mit Hilfe der Bruchrechnung: \( 1000 \text{ kg} · \frac{1}{8} = 125 \text{ kg} \)
Beispiel: (3/8) von 100 m
Gefragt ist nach 3 von 8 gleichgroßen „Teilen“ von einem Ganzen. Unser „Ganzes“ sind die 100 m.
Ohne die Bruchrechnung könnten wir direkt die Division rechnen: 100 m : 8 = 12,5 m. Das ist 1 Teil von 8 Teilen. Es wird jedoch nach 3 Teilen gefragt, demnach: 12,5 m · 3 = 37,5 m.
Mit Hilfe der Bruchrechnung geht dies schneller:
\( 100 \text{ m} · \frac{3}{8} = \frac{100·3}{8} \text{ m} = 37,5 \text{ m} \)
Beispiel: (3/20) von 1 Stunde
Gefragt ist nach 3 von 20 gleichgroßen „Teilen“ von einer Stunde.
Wir lösen dies mit Hilfe der Bruchrechnung:
\( 1 \text{ h} · \frac{3}{20} = \frac{1·3}{20} \text{ h} = 0,15 \text{ h} \)
Jetzt können wir die 0,15 Stunden umrechnen in Minuten (1 h = 60 min):
\( 0,15 \text{ h} · \frac{ 60 \text{ min} }{ 1 \text{ h} } = 0,15 · 60 \text{ min} = 9 \text{ min}\)
Lösung: \( \frac{3}{20} \) von 1 Stunde entsprechen 9 Minuten.