Wir dividieren Brüche, indem wir den Kehrwert beim zweiten Bruch bilden und dann mit dem ersten Bruch multiplizieren (statt dividieren).
Beispiel: \( \frac{1}{2} : \frac{\textcolor{#00F}{3}}{\textcolor{#F00}{5}} = \frac{1}{2} · \frac{\textcolor{#F00}{5}}{\textcolor{#00F}{3}} = \frac{1·5}{2·3} = \frac{5}{6} \)
Kehrwert bedeutet, dass wir Zähler und Nenner des zweiten Bruches vertauschen. Danach können die Zähler und Nenner beider Brüche einfach miteinander multipliziert werden.
Allgemein:
$$ \frac{a}{b}:\frac{\textcolor{blue}{c}}{\textcolor{red}{d}} = \frac{a}{b}·\frac{\textcolor{red}{d}}{\textcolor{blue}{c}} = \frac{a·\textcolor{red}{d}}{b·\textcolor{blue}{c}} $$
Weiteres Beispiel:
$$ \frac{3}{7}:\frac{\textcolor{blue}{1}}{\textcolor{red}{2}} = \frac{3}{7}·\frac{\textcolor{red}{2}}{\textcolor{blue}{1}} = \frac{3·\textcolor{red}{2}}{7·\textcolor{blue}{1}} = \frac{6}{7} $$
Division durch Stammbruch als Multiplikation
Wir können an der letzten Rechnung erkennen, dass die Division durch einen Stammbruch wie \( :\frac{1}{2} \) einer Multiplikation mit einer ganzen Zahl entspricht, also ·2. Zum Beispiel:
$$ \frac{3}{7} \textcolor{#00F}{ :\frac{1}{2} } = \frac{3}{7} · \frac{2}{1} = \frac{3}{7} \textcolor{#00F}{· 2} = \frac{6}{7} $$
Genauso wichtig:
Eine Division durch eine ganze Zahl kann durch eine Multiplikation mit einem Bruch ausgedrückt werden. Ein Beispiel hierzu:
$$ 3\textcolor{red}{:2} = \frac{3}{2} = 3\textcolor{red}{·\frac{1}{2}} = 3:\frac{2}{1} $$
Warum Zähler und Nenner bei der Division von Brüchen vertauschen?
Wer sich schon immer gefragt hat, warum man bei der Division Nenner und Zähler vertauschen muss (den Kehrwert bildet) und dann multipliziert anstatt dividiert, der kann sich Folgendes merken:
$$ 1:2 = \textcolor{#789}{\frac{1}{2}} = 1·\frac{1}{2} = \textcolor{#789}{1:2} = 1:\frac{2}{1} $$