Wir hatten bereits gelernt, was Brüche sind und wie wir Brüche erweitern und kürzen können. Im Folgenden betrachten wir, was gleichnamige Brüche sind und wie wir sie miteinander vergleichen können.
Der Begriff „gleichnamig“ meint, dass die Brüche den gleichen Nenner haben.
Beispiele: \( \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{7}{3} \) ← Alle Brüche haben den selben Nenner 3.
Gleichnamige Brüche vergleichen
Bei gleichnamigen Brüchen ist das Vergleichen ihrer Werte einfach, da wir bereits gleiche Nenner vorzuliegen haben. Das heißt, wir müssen nur die Zähler miteinander vergleichen.
Vergleichen wir beispielsweise \( \frac{1}{8} \) mit \( \frac{3}{8} \), sehen wir, dass 1 kleiner ist als 3. Wir schreiben also \( \frac{1}{8} \lt \frac{3}{8} \).
Vergleichen wir beispielsweise \( \frac{4}{7} \) mit \( \frac{1}{7} \), sehen wir, dass 4 größer ist als 1. Wir schreiben also \( \frac{4}{7} \gt \frac{1}{7} \).
Bei gleichen Brüchen setzen wir das Gleichheitszeichen: \( \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \)
Brüche gleichnamig machen
Brüche gleichnamig zu machen heißt, einen gemeinsamen Nenner zu bilden.
Dabei können wir die Zahl finden, die beide Nenner zusammen als erstes „erreichen“ (vgl. kleinstes gemeinsames Vielfaches) oder wir bilden einen Nenner, der beliebig groß sein kann.
Beispiel: Gemeinsamen Nenner durch Erweitern bilden
Machen wir die beiden folgenden Brüche gleichnamig:
\( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \)
Den gemeinsamen Nenner finden wir, indem wir die Nenner beider Brüche multiplizieren: 2·3 = 6. Wir erweitern die Brüche also entsprechend, um den Nenner 6 zu bilden:
\( \frac{1}{2} → \frac{1 \textcolor{#00F}{·3}}{2 \textcolor{#00F}{·3}} = \frac{3}{ \textcolor{#F00}{6}} \) und \( \frac{1}{3} → \frac{1 \textcolor{#00F}{·2}}{3 \textcolor{#00F}{·2}} = \frac{2}{\textcolor{#F00}{6}} \)
Damit sind die Brüche gleichnamig: \( \frac{3}{6} \) und \( \frac{2}{6} \)
Jetzt erkennen wir auch, dass \( \frac{1}{2} \left( \frac{3}{6} \right) \) größer ist als \( \frac{1}{3} \left( \frac{2}{6} \right) \).
\( \frac{3}{6} \gt \frac{2}{6} \) und damit: \( \frac{1}{2} \gt \frac{1}{3} \)
Wir könnten auch gemeinsame Nenner bilden, die größer sind. Für \( \frac{1}{2} \) und \( \frac{1}{3} \) wäre auch 12, 18, 24 als gemeinsamer Nenner möglich.
Wenn wir jedoch einen Nenner wählen, der dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen entspricht, so nennen wir ihn „Hauptnenner“.
Der Hauptnenner in unserem obigen Beispiel ist die 6.
Oft multipliziert man die Nenner beider Brüche miteinander, um einen gemeinsamen Nenner zu bilden. Dann muss man das Endergebnis aber auch meist kürzen.
Beispiel: Gemeinsamen Nenner durch Kürzen bilden
Es kann vorkommen, dass wir kürzen können, um einen gemeinsamen Nenner zu finden:
\( \frac{7}{10} \) und \( \frac{10}{20} \)
Den gemeinsamen Nenner finden wir, indem wir den zweiten Bruch im Beispiel auf den Nenner 10 bringen, indem wir den Bruch kürzen:
\( \frac{10}{20} → \frac{10 \textcolor{#00F}{:2}}{20 \textcolor{#00F}{:2}} = \frac{5}{10} \)
Damit sind die Brüche gleichnamig (also beide mit dem Nenner 10):
\( \frac{7}{10} \) und \( \frac{5}{10} \)
Jetzt erkennen wir direkt, dass \( \frac{7}{10} \) größer ist als \( \frac{5}{10} \).
Damit gilt gleichfalls: \( \frac{7}{10} \gt \frac{10}{20} \)