Schauen wir uns weitere Eigenschaften von Eigenvektoren und Eigenwerten an:
a) Die Summe aller Eigenwerte einer Matrix ist gleich der Spur der Matrix
\(Spur(A) = \sum \lambda \) Gl. 260
b) Das Produkt aller Eigenwerte einer Matrix ist gleich dem Wert der Matrix
\(\det (A) = \prod \lambda \) Gl. 261
Beispiel:
Die Matrix \(A = \left( {\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array} } \right)\) hat die Eigenwerte \({\lambda _1} = 6,464\) und \({\lambda _2} = - 0,464\).
a) \(Spur(A) = 1 + 5 = 6 \quad \text{ und } \sum {\lambda = 6,464 - 0,464 = 6} \)
b) \(\left| A \right| = 5 - 8 = - 3 \quad \text{ und } \quad \prod {\lambda = 6,464 \cdot ( - 0,464)} = - 3\)
c) Verschiebungssatz: Wird einer Matrix A eine Verschiebungsmatrix s×I hinzuaddiert, dann verschieben sich auch die Eigenwerte um diese Verschiebung.
\( \begin{array}{l} A \to A + s · I \quad \Rightarrow \quad \lambda \to \lambda + s \end{array} \) Gl. 262
d) Die Eigenvektoren von A sind orthogonal zueinander, wenn A symmetrisch ist.
e) Alle Eigenvektoren von A sind auch Eigenvektoren von A-1, vorausgesetzt det(A)¹0. Die Eigenwerte der Kehrwertmatrix hingegen sind identisch zu den Kehrwerten der Eigenwerte der Ausgangsmatrix.
Beispiel:
Die Matrix \(A = \left( {\begin{array}{cc}1&2\\4&5\end{array} } \right)\) hat die Eigenwerte \({\lambda _1} = 6,464\) und \({\lambda _2} = - 0,464\). Die dazugehörige Eigenvektormatrix lautet \(V = \left( {\begin{array}{cc}{0,344}&{0,807}\\{0,939}&{ - 0,591}\end{array} } \right)\).
Lösung:
\({A^{ - 1} } = \left( {\begin{array}{cc}{ - 1,667}&{0,667}\\{1,333}&{ - 0,333}\end{array} } \right)\) die Eigenwerte bestimmen sich zu \({\lambda _1} = 0,155\) und \({\lambda _2} = - 2,155\), was genau den Kehrwerten der Eigenwerte der Ausgangsmatrix entspricht. Die Eigenvektormatrix der reziproken Matrix A lautet:
\( V = \left( {\begin{array}{cc}{0,344}&{0,807}\\{0.939}&{ - 0,591}\end{array} } \right) \) und entspricht damit der Originalmatrix der Eigenvektoren!
f) Die Eigenwerte einer Diagonalmatrix oder einer Dreiecksmatrix sind gleich den Elementen auf der Hauptdiagonalen.
Beweis:
Die Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte im Falle von Diagonal- oder Dreiecksmatrizen ist besonders einfach:
\( D - \lambda · I = \left( { \begin{array}{cc} { {d_{11} } - \lambda } & { {d_{12} } } & {...} & { {d_{1K} } } \\ 0 & { {d_{22} } - \lambda } & {...} & { {d_{2K} } } \\ {...} & {...} & { {d_{ik} } - \lambda } & {...} \\ 0 & 0 & {...} & { {d_{IK} } - \lambda } \end{array} } \right) = 0 \) Gl. 263
D steht hier für eine Dreiecksmatrix (aber auch eine Diagonalmatrix zeigt gleiches Verhalten).
Die Lösung der Determinante zeigt, dass nur das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen übrig bleibt, alle anderen Produkte verschwinden.
\( \det (D - \lambda \cdot I) = \left( { {d_{11} } - \lambda } \right) \cdot \left( { {d_{22} } - \lambda } \right) \cdot \,....\, \cdot \left( { {d_{IK} } - \lambda } \right) = 0 \) Gl. 264
Gl. 264 wird immer dann verschwinden, wenn einer der Faktoren verschwindet. Daher sind die dkk identisch zu den Eigenwerten lk.
g) Sind A und B nichtsinguläre, ranggleiche Matrizen, dann habenA und B-1 ×A×B identische Eigenwerte. Die Transformation B-1 ×A×B wird Ähnlichkeitstransformation genannt, weil aus der allgemeinen Transformationsaufgabe
\(X' = M \cdot X\) Gl. 265
die spezielle Transformationsaufgabe
\( X' = {B^{ - 1} } \cdot A \cdot B \cdot X \quad \Rightarrow \quad M = {B^{ - 1} } \cdot A \cdot B \) Gl. 266
folgt. Dabei bewirkt die erste (rechte!) Multiplikation eine erste Transformation des Eingangsvektors X, die Multiplikation mit A eine zweite Transformation. Die letzte Multiplikation mit der reziproken der ersten Multiplikation (B-1) bewirkt die Rücknahme der Wirkung der ersten Transformation (Multiplikation mit B). Folglich bleiben in M die Eigenschaften von A erhalten.