Transformationen im zweidimensionalen Raum unterscheiden sich nicht grundsätzlich von solchen im 3D-Raum. Da aber die Betrachtungsweise im zweidimensionalen Raum anschaulicher ist, werden alle Transformationen zunächst im 2D-Raum erörtert. Ein Punkt in der Fläche wird durch seine Koordinaten bestimmt:
\(P = \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right) = {\left( {\begin{array}{cc}x&y\end{array} } \right)^T}\) Gl. 215
Bisweilen wird zur Kennzeichnung eines Spaltenvektors auch die transponierte Schreibweise benutzt, weil diese Schreibweise platzsparend ist.
Translation
Die Translation ist dadurch gekennzeichnet, dass zu den Koordinaten des Punktes P Verschiebungswerte hinzugefügt werden:
\(\begin{array}{l}x' = x + {t_x}\\y' = y + {t_y}\end{array}\) Gl. 216
oder in Matrizenschreibweise:
\(P' = P + T = \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{cc}{ {t_x} }\\{ {t_y} }\end{array} } \right)\) Gl. 217
Skalierung
Bei der Skalierung erfolgt eine Multiplikation der Koordinaten des Punktes mit einem richtungsbezogenen Faktor:
\(\begin{array}{l}x' = {s_x} \cdot x\\y' = {s_y} \cdot y\end{array}\) Gl. 218
oder in Matrizenschreibweise:
\(P' = S \cdot P = \left( {\begin{array}{cc}{ {s_x} }&0\\0&{ {s_y} }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 219
Beachte, dass die Wirkung der Skalierung abhängig ist vom Ort des Punktes. Ein weiter vom Nullpunkt entfernter Punkt wird absolut stärker beeinflusst als ein Punkt in der Nähe des Koordinatenursprungs. Siehe dazu Abbildung 20, Skalierung: der Punkt P1 wird weniger stark verrückt als der Punkt P3.
Scherung
Die Scherung kann auf einen einzelnen Punkt nicht sinnvoll angewendet werden, vielmehr wird sie auf Ensembles von Punkten angewandt. Daher wird für die folgende Betrachtung vorausgesetzt, dass ein Objekt aus mindestens zwei Punkten gebildet wird, wovon ein Punkt im Koordinatenursprung liege. Die Scherung ist ebenfalls richtungsabhängig:
\(\begin{array}{l}x' = x + {a_x} \cdot y\\y' = {a_y} \cdot x + y\end{array}\) Gl. 220
oder in Matrizenschreibweise:
\( P' = Sh \cdot P = \left( {\begin{array}{cc} 1&{ {a_x} } \\ { {a_y} }&1 \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc} x \\ y \end{array} } \right) \) Gl. 221
Durch die Einführung der Scherungskoeffizienten ax bzw. a y bleibt die Linienparallelität des gescherten Objektes erhalten, wohingegen Winkel und Längen beeinflusst werden. Die Werte für a x bzw. ay entsprechen den Tangenswerten der jeweiligen Scherungswinkel a und b:
\(\begin{array}{l}{a_x} = \tan (\alpha )\\{a_y} = \tan (\beta)\end{array}\) Gl. 222
Wird die Scherungsoperation auf den Punkt im Ursprung angewendet, bleibt dies ohne Wirkung, da x = y = 0 sind.
Sonderfälle der Scherung
a) Scherung parallel zur x-Achse
\(P' = Sh \cdot P = \left( {\begin{array}{cc}1&{ {a_x} }\\0&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 223
b) parallel zur y-Achse
\(P' = Sh \cdot P = \left( {\begin{array}{cc}1&0\\{ {a_y} }&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 224
Rotation
Die Rotation ist dadurch gekennzeichnet, dass der Punkt bei gleichbleibendem Abstand vom Ursprung um einen bestimmten Winkel entlang eines Kreises mit einem Radius, der genau diesem Abstand entspricht, verschoben wird:
\(\begin{array}{l}x' = x \cdot \cos \phi - y \cdot \sin \phi \\y' = x \cdot \sin \phi + y \cdot \cos \phi \end{array}\) Gl. 225
oder in Matrizenschreibweise:
\(P' = R \cdot P = \left( {\begin{array}{cc}{\cos \phi }&{ - \sin \phi }\\{\sin \phi }&{\cos \phi }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}x\\y\end{array} } \right)\) Gl. 226
Körpererhaltende Transformation
- Translation, Rotation und jegliche Kombination von beiden Transformationen erhalten Längen und Winkel von 2D-Objekten (körpererhaltende Transformation).
- Skalierung, Scherung und deren Kombinationen erhalten die Linienparallelität, aber keine Winkel und Längen von 2D-Objekten.