Eine quadratische Matrix ist dann symmetrisch, wenn das Vertauschen von Zeilen und Spalten die Matrix nicht verändert.
\( {A^T} = A\) \({a_{ik} } = {a_{ki} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\, \wedge \,\forall k \le K \) Gl. 136
Eine quadratische Matrix ist dann antisymmetrisch, wenn das Vertauschen von Zeilen und Spalten zu einem Vorzeichenwechsel der Matrix führt.
\( {A^T} = - A\) \({a_{ik} } = - {a_{ki} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\, \wedge \,\forall k \le K \) Gl. 137
Diese Bedingung hat zur Folge, dass alle Elemente auf der Hauptdiagonalen = 0 sein müssen. Andernfalls wäre die Aussage \({a_{ii} } = -{a_{ii} }\,\,\,\,\, \text{ für } \,\,\,\forall i \le I\,\,\) falsch.
Jede quadratische Matrix kann in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil zerlegt werden:
\( A = \frac{1}{2}\left[ {A + {A^T} } \right] + \frac{1}{2}\left[ {A - {A^T} } \right] = {A_S} + {A_A} \) Gl. 138
Beweis:
a) \( {A_S}^T = \frac{1}{2}{\left[ {A + {A^T} } \right]^T} = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} + { {\left( { {A^T} } \right)}^T} } \right] = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} + A} \right] = {A_S} \)
d.h. die Transponierung hat die Ausgangsmatrix nicht verändert.
b) \({A_A}^T = \frac{1}{2}{\left[ {A - {A^T} } \right]^T} = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} - { {\left( { {A^T} } \right)}^T} } \right] = \frac{1}{2}\left[ { {A^T} - A} \right] = - {A_A}\)
d.h. die Transponierung hat das Vorzeichen der Ausgangsmatrix verändert.
Beispiel:
Die Matrix A ist in ihren symmetrischen und ihren antisymmetrischen Anteil zu zerlegen:
\( A = \left( {\begin{array}{cc} &3&{-2}\\4&2&1\\{-2}&5&3\end{array} } \right) \Rightarrow {A^T} = \left( {\begin{array}{cc}2&4&{-2}\\3&2&5\\{-2}&1&3\end{array} } \right) \)
Symmetrischer Anteil:
\( A_S = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\begin{array}{cc}2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{cc}2&4&{ - 2}\\3&2&5\\{ - 2}&1&3\end{array} } \right)} \right] = \left( {\begin{array}{cc}2&{3,5}&{ - 2}\\{3,5}&2&3\\{ - 2}&3&3\end{array} } \right) \)
Antisymmetrischer Anteil:
\( A_A = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\begin{array}{cc}2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) - \left( {\begin{array}{cc}2&4&{ - 2}\\3&2&5\\{ - 2}&1&3\end{array} } \right)} \right] = \left( {\begin{array}{cc}0&{ - 0,5}&0\\{0,5}&0&{ - 2}\\0&2&0\end{array} } \right) \)
Prüfung:
\( {A_S} + {A_A} = \left( {\begin{array}{cc}2&{3,5}&{ - 2}\\{3,5}&2&3\\{ - 2}&3&3\end{array} } \right) + \left( {\begin{array}{cc}0&{ - 0,5}&0\\{0,5}&0&{ - 2}\\0&2&0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}2&3&{ - 2}\\4&2&1\\{ - 2}&5&3\end{array} } \right) = A \) q.e.d.