Das Spatprodukt ist ein aus einem Vektorprodukt und einem Skalarprodukt zusammengesetztes Produkt.
Wie aus Abschnitt Skalarprodukt bekannt ist, ist das Vektorprodukt zweier Vektoren betragsgleich zur Fläche des Parallelogramms, das von diesen Vektoren aufgespannt wird. Das Ergebnis des Vektorproduktes ist aber wiederum ein Vektor, der senkrecht auf dem Parallelogramm steht. Weiterhin ist aus Abschnitt Kreuz- (Vektor-)Produkt bekannt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren zur Multiplikation nur der gleichgerichteten Komponenten der Vektoren führt. Das Ergebnis ist ein Skalar. Somit ergibt das Produkt nach Gl. 330 das Volumen eines Spates (schiefwinkliger Quader):
\(V = \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec c \) Gl. 330
Das Vektorprodukt bildet ein flächengleiches Rechteck und das Skalarprodukt eine rechtwinklig auf dieser Fläche stehendes Höhenäquivalent, so dass das Produkt dieses Quaders das gleiche Volumen hat, wie der Spat (Abbildung 43).
Alternativ kann das Spatprodukt auch als Determinante geschrieben werden
\( \left( {\vec a \times \vec b} \right) \cdot \vec c = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\\{ {c_x} }&{ {c_y} }&{ {c_z} }\end{array} } \right| \) Gl. 331
denn die Entwicklung der Determinante nach ihren Adjunkten zeigt
\( \left| {\begin{array}{cc} { {a_x} }&{ {a_y} }&{ {a_z} }\\{ {b_x} }&{ {b_y} }&{ {b_z} }\\{ {c_x} }&{ {c_y} }&{ {c_z} }\end{array} } \right| = {c_x}\left( { {a_y}{b_z} - {a_z}{b_y} } \right) - {c_y}\left( { {a_x}{b_z} - {a_z}{b_x} } \right) + {c_z}\left( { {a_x}{b_y} - {a_y}{b_x} } \right) \) Gl. 332
Im Vergleich mit Gl. 317, dass es sich hierbei um das Skalarprodukt des Vektors \(\vec c\) mit dem Vektorprodukt \(\vec a \times \vec b\) handelt.
Beispiel:
Gegeben seien die Punkte (0,0,0); (1,2,0); (-1,2,0) und (0,1,2), die die vorderen Eckpunkte eines Spates bezeichnen. Gesucht ist das Spatvolumen.
Lösung:
Da die vorderen Seiten des Spats im Ursprung beginnen, sind diese leicht als Ortsvektoren zu schreiben:
\( \vec a = \left( {\begin{array}{cc}1\\2\\0\end{array} } \right); \quad \vec b = \left( {\begin{array}{cc}{ - 1}\\2\\0\end{array} } \right) \text{ und } \vec c = \left( {\begin{array}{cc}0\\1\\2\end{array} } \right) \)
zunächst wird das Vektorprodukt berechnet:
\( \vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{cc} 1&2&0 \\ {-1}&2&0 \\ 0&1&2 \end{array} } \right| = 4 - ( - 4) = 8 \)
Folglich beträgt das Volumen 8 Einheiten.
