Die Multiplikation einer gegebenen Matrix mit einer Vertauschungsmatrix
- von links führt zu einer gezielten Vertauschung der Zeilen
- von rechts führt zu einer gezielten Vertauschung der Spalten
der gegebenen Matrix.
Eine Vertauschungsmatrix ist dadurch gekennzeichnet, dass in jeder Zeile und jeder Spalte nur ein Element mit dem Wert 1 belegt ist. Alle übrigen Elemente haben den Wert 0:
\( V = \left( {\begin{array}{cc}1&0&{...}&0\\0&0&{...}&1\\{...}&{...}&1&{...}\\0&1&{...}&0\end{array} } \right) \) Gl. 174
\( V \cdot A = \left( {\begin{array}{cc}1&0&{...}&0\\0&0&{...}&1\\{...}&{...}&1&{...}\\0&1&{...}&0\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\\{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\end{array} } \right) \) Gl. 175
Die Multiplikation der Vertauschungsmatrix von links hat bewirkt, dass die zweite Zeile mit der i-ten Zeile vertauscht wurde.
\(A \cdot V = \left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1K} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2K} } }\\{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IK} } }\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}1&0&{...}&0\\0&0&{...}&1\\{...}&{...}&1&{...}\\0&1&{...}&0\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{1K} } }&{...}&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{2K} } }&{...}&{ {a_{22} } }\\{...}&{...}&{ {a_{ik} } }&{...}\\{ {a_{I1} } }&{ {a_{IK} } }&{...}&{ {a_{I2} } }\end{array} } \right)\) Gl. 176
Die Multiplikation der Vertauschungsmatrix von rechts hat bewirkt, dass die zweite Spalte mit der k-ten Spalte vertauscht wurde.
Alle Elemente in der Diagonalen der Vertauschungsmatrix haben zu keiner Vertauschung geführt.