Einführung
Es wird also eine Matrix B gesucht, die mit der gegebenen Matrix A multipliziert, die Einheitsmatrix I ergibt, also reziprok zu A ist.
\(A \cdot B = I \) Gl. 178
Voraussetzungen hierfür sind,
- die Matrix A ist quadratisch.
- die Matrix A ist regulär, also det(A) ¹ 0.
Die Invertierung einer Matrix soll am Beispiel einer Matrix mit dem Rang r=2 ausgeführt werden.
\(A \cdot B = \left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\end{array} } \right).\left( {\begin{array}{cc}{ {b_{11} } }&{ {b_{12} } }\\{ {b_{21} } }&{ {b_{22} } }\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array} } \right)\) Gl. 179
Das Ausmultiplizieren ergibt vier Gleichungen mit vier Unbekannten:
\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} } \cdot {b_{11} } & \quad & + {a_{12} } \cdot {b_{21} } & \quad & = 1 \\ II. & \quad & {a_{11} } \cdot {b_{12} } & \quad & + {a_{12} } \cdot {b_{22} } & = 0 \\ III. & {a_{21} } \cdot {b_{11} } & \quad & + {a_{22} } \cdot {b_{21} } & \quad & = 0 \\ IV. & \quad & {a_{21} } \cdot {b_{12} } & \quad & + {a_{22} } \cdot {b_{22} } & = 1 \end{array} \) Gl. 180
Dieses Gleichungssystem, in dem die bik die gesuchten Unbekannten sind, kann durch eine Determinante beschrieben und gelöst werden:
\(D = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } + {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} }\) Gl. 181
Unter Anwendung der 2. Binomischen Formel:
\( = {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} }^2 - 2 \cdot {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } + {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} }^2 = {\left( { {a_{11} } \cdot {a_{22} } - {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right)^2} = {\left( {\det \left( A \right)} \right)^2}\) Gl. 182
D.h. der Wert der Koeffizientendeterminante der unbekannten Koeffizienten bik ist gleich dem Quadrat der Determinante der zu invertierenden Matrix A!
Die unbekannten Koeffizienten werden nach der Cramerschen Regel berechnet. Von Vorteil ist, dass die Störung aus nur zwei von 0 verschiedenen Elementen besteht, die zudem noch gleich 1 sind. Zunächst werden aber die Zählerdeterminanten berechnet:
\({D_{ {b_{11} } } } = \left| {\begin{array}{cc}1&0&{ {a_{12} } }&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&0&{ {a_{22} } }&0\\1&{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }&0\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| - \left| {\begin{array}{cc}0&{ {a_{12} } }&0\\{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\0&{ {a_{22} } }&0\end{array} } \right| = {a_{11} } \cdot {a_{22} }^2 - {a_{22} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } - 0 = {a_{22} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 183
und analog dazu
\({D_{ {b_{12} } } } = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&1&{ {a_{12} } }&0\\0&0&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&1&0&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = 0 + \left( { {a_{12} }^2 \cdot {a_{21} } - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{22} } } \right) = - {a_{12} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 184
\({D_{ {b_{21} } } } = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&0&1&0\\0&{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&0&0&0\\0&{ {a_{21} } }&1&{ {a_{22} } }\end{array} } \right| = {a_{12} } \cdot {a_{21} }^2 - {a_{11} } \cdot {a_{21} } \cdot {a_{22} } - 0 = - {a_{21} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 185
\({D_{ {b_{22} } } } = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&0&{ {a_{12} } }&1\\0&{ {a_{11} } }&0&0\\{ {a_{21} } }&0&{ {a_{22} } }&0\\0&{ {a_{21} } }&0&1\end{array} } \right| = 0 + \left( { {a_{11} }^2 \cdot {a_{22} } - {a_{11} } \cdot {a_{12} } \cdot {a_{21} } } \right) = {a_{11} } \cdot \det \left( A \right)\) Gl. 186
es folgt
\( \begin{array}{l}{b_{11} } = \frac{ { {D_{ {b_{11} } } } } }{D} = \frac{ { {a_{22} } \cdot \det \left( A \right)} }{ { { {\left( {\det \left( A \right)} \right)}^2} } } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{22} }; & \\{b_{12} } = - \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{12} }; & {b_{21} } = - \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{21} }; & {b_{22} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{a_{11} }\end{array} \) Gl. 187
Schließlich ergibt sich die gesuchte Kehrwertmatrix zu
\(B = {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{cc}{ {a_{22} } }&{ - {a_{12} } }\\{ - {a_{21} } }&{ {a_{11} } }\end{array} } \right)\) Gl. 188
Offenbar sind die bik identisch mit den Adjunkten der Ausgangsmatrix, allerdings mit vertauschten Indize:
\({b_{ik} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{A_{ki} }\) Gl. 189
also
\( {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{cc}{ {A_{11} } }&{ {A_{21} } }\\{ {A_{12} } }&{ {A_{22} } }\end{array} } \right) = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }{\left( {\begin{array}{cc}{ {A_{11} } }&{ {A_{12} } }\\{ {A_{21} } }&{ {A_{22} } }\end{array} } \right)^T} \) Gl. 190
Die Probe
\( A \cdot {A^{-1} } = \left( {\begin{array}{cc} { {a_{11} } } & { {a_{12} } } \\ { {a_{21} } } & { {a_{22} } } \end{array} } \right) \frac{1}{ {\det \left( A \right)} } \left( {\begin{array}{cc} { {a_{22} } } & { - {a_{12} } } \\ { -{a_{21} } } & { {a_{11} } } \end{array} } \right) \) Gl. 191
\( = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{cc}{ {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } }&{ - {a_{11} }{a_{12} } + {a_{11} }{a_{12} } }\\{ {a_{22} }{a_{21} } - {a_{22} }{a_{21} } }&{ {a_{11} }{a_{22} } - {a_{12} }{a_{21} } }\end{array} } \right)\)
\( = \frac{1}{ {\det \left( A \right)} }\left( {\begin{array}{cc}{\det \left( A \right)}&0\\0&{\det \left( A \right)}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array} } \right)\)
zeigt, dass das Produkt aus Ausgangsmatrix und Kehrwertmatrix tatsächlich die Einheitsmatrix ergibt.
Allgemeingültige Rechenvorschrift
Für beliebig große quadratische Matrizen gilt der gleiche Ansatz:
\( A · B = \left( { \begin{array}{cc} { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{...}&{ {a_{1L} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{...}&{ {a_{2L} } } \\ {...}&{...}&{ {a_{il} } }&{...} \\ { {a_{I1} } }&{ {a_{I2} } }&{...}&{ {a_{IL} } } \end{array} } \right). \left( { \begin{array}{cc} { {b_{11} } }&{ {b_{12} } }&{...}&{ {b_{1K} } } \\ { {b_{21} } }&{ {b_{22} } }&{...}&{ {b_{2K} } } \\ {...}&{...}&{ {b_{lk} } }&{...} \\ { {b_{L1} } }&{ {b_{L2} } }&{...}&{ {b_{LK} } } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array}{cc} 1&0&{...}&0 \\ 0&1&{...}&0 \\ {...}&{...}&1&{...} \\ 0&0&{...}&1 \end{array} } \right); \quad I = L = K \) Gl. 192
Demnach muss nach den Regeln der Multiplikation gelten:
\( \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {b_{lk} } = \left\{ {\begin{array}{cc}1&{i = k}\\0&{i \ne k}\end{array} } \right. \) Gl. 193
Genau diese Bedingung wird durch die Adjunkte der Determinante der Matrix A erfüllt. Wenn nämlich diese Determinante nach ihren Adjunkten entwickelt wird (Abschnitt Entwickeln einer Determinante nach ihren Unterdeterminanten (Adjunkte) und Eigenschaften zweireihiger Determinaten (d)), gilt:
\( \left| A \right| = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {A_{il} } \quad \text{ sonst } \quad 0 = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \cdot {A_{jl} } \quad j \ne i \) Gl. 194
Dividieren durch |A| ergibt:
\( \left. {\begin{array}{cc}1\\0\end{array} } \right\} = \sum\limits_{l = 1}^L { {a_{il} } } \frac{ { {A_{jl} } } }{ {\left| A \right|} } \quad \begin{array}{cc}{j = i}\\{j \ne i}\end{array} \) Gl. 195
Der Vergleich mit Gl. 193 zeigt, dass die gesuchten Koeffizienten der Kehrwertmatrix wie folgt ermittelt werden:
\( {b_{lk} } = \frac{ { {A_{il} } } }{ {\left| A \right|} } \quad \text{ für i=k } \quad \Rightarrow \quad {b_{lk} } = \frac{ { {A_{kl} } } }{ {\left| A \right|} } \) Gl. 196
Erinnern wir uns: Die Matrix A ist quadratisch, folglich kann der Index l auch durch den Index i ersetzt werden:
\({b_{ik} } = \frac{ { {A_{ki} } } }{ {\left| A \right|} }\) Gl. 197
Was letztlich zu der gesuchten Kehrwertmatrix führt:
\({A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\left| A \right|} }\left( {\begin{array}{cc}{ {A_{11} } }&{ {A_{21} } }&{...}&{ {A_{K1} } }\\{ {A_{12} } }&{ {A_{22} } }&{...}&{ {A_{K2} } }\\{...}&{...}&{ {A_{kl} } }&{...}\\{ {A_{1L} } }&{ {A_{2L} } }&{...}&{ {A_{KL} } }\end{array} } \right)\) Gl. 198
Beachte, dass die Adjunkte stets transponiert zu den Orten ihrer zugehörigen Koeffizienten auftreten. Unter Berücksichtigung der quadratischen Gestalt, d.h. I=L=K wird obige Gl. 198 so dargestellt, dass die Adjunkte an den Orten ihrer Koeffizienten erscheinen:
\( {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {\left| A \right|} } { \left( { \begin{array}{cc} { {A_{11} } }&{ {A_{12} } }&{...}&{ {A_{1I} } } \\ { {A_{21} } }&{ {A_{22} } }&{...}&{ {A_{2I} } } \\ {...}&{...}&{ {A_{ii} } }&{...} \\ { {A_{I1} } }&{ {A_{I2} } }&{...}&{ {A_{II} } } \end{array} } \right)^T } \) Gl. 199
Beispiel:
Gesucht ist die zur Matrix \(A = \left( {\begin{array}{cc}3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right)\) inverse Matrix.
Die Berechnung erfolgt schrittweise:
1. Berechnung des Wertes der Matrix \(\det A = \left| {\begin{array}{cc}3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right| = - 3 + 63 + 6 + 9 - 18 - 7 = 50\)
2. Berechnung aller Adjunkte
\( \begin{array}{l} {A_{11} } = - 1 - 6 = - 7; & {A_{12} } = - (1 - 9) = 8; & {A_{13} } = 2 + 3 = 5 \\ {A_{21} } = - (7 - 6) = - 1; & {A_{22} } = 3 - 9 = -6; & {A_{23} } = - (6 - 21) = 15 \\ {A_{31} } = 21 + 3 = 24; & {A_{32} } = - (9 - 3) = - 6; & {A_{33} } = - 3 - 7 = - 10 \end{array} \)
Nunmehr ergibt sich die Kehrwertmatrix zu \({A^{ - 1} } = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{cc}{ - 7}&{ - 1}&{24}\\8&{ - 6}&{ - 6}\\5&{15}&{ - 10}\end{array} } \right)\)
Als Nachweis für die Richtigkeit der invertierten Matrix werden Ausgangsmatrix und invertierte Matrix miteinander multipliziert:
\(A \cdot {A^{ - 1} } = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{cc}3&7&3\\1&{ - 1}&3\\3&2&1\end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{cc}{ - 7}&{ - 1}&{24}\\8&{ - 6}&{ - 6}\\5&{15}&{ - 10}\end{array} } \right)\,\, = \frac{1}{ {50} }\left( {\begin{array}{cc}{ - 21 + 56 + 15}&{ - 3 - 42 + 45}&{72 - 42 - 30}\\{ - 7 - 8 + 15}&{ - 1 + 6 + 45}&{24 + 6 - 30}\\{ - 21 + 16 + 5}&{ - 3 - 12 + 15}&{72 - 12 - 10}\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{cc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array} } \right)\)
q.e.d.